1. 概要と背景
本モデルは、従来の線形計画法（LP）による「所得最大化」や「労働最小化」モデルに、「経営規模拡大に伴う管理精度の低下（収穫逓減）」という非線形な要素を組み込んだものです。
現実の家族経営では、作付面積が「適正規模（ピーク）」を超えると、適期作業の遅れや見回りの不足により、単位面積あたりの収益性が低下します。本モデルは、この現象を有理関数として定式化し、「無理な拡大をせず、最も効率の良い規模で複合経営を行う」ための意思決定支援を行います。
2. 数理モデルの定義
本モデルでは、現実の農業経営を数式に落とし込むために、以下の4つの要素（決定変数、目的関数、収益モデル、制約条件）を定義します。
〈決定変数 (Decision Variables)〉
「どの作物を、どれくらいの広さで作るか」を探し出します。
- $x_j \ge 0 \quad (j = 1, 2, \dots, n)$
- 作目 $j$ の作付面積（単位：10a）。
〈目的関数 (Objective Function)〉
「とにかく儲ける」のではなく、「必要な利益を確保した上で、一番楽をする（労働時間を減らす）」ことを目指します。
必要所得等の制約を満たしつつ、年間の総労働投入量を最小化します。
$$\text{Minimize} \quad Z = \sum_{j=1}^{n} L_j x_j$$
- $L_j$：作目 $j$ の単位面積あたり年間延べ労働時間（定数）。
〈規模連動型収益モデル (Non-linear Revenue Model)〉
「広げすぎると手が回らなくなり、面積あたりの収益が落ちる」という現実の現象を数式化しています。
単位面積あたり粗収益 $R_j(x_j)$ を、作付面積 $x_j$ に依存する有理関数として定義します。
$$R_j(x_j) = R_{base, j} + (R_{peak, j} - R_{base, j}) \cdot \frac{2 x_j P_j}{x_j^2 + P_j^2}$$
- $R_{peak, j}$：適正規模時の最大単収益。
- $R_{base, j}$：管理限界を超えた際（または極小規模時）の底値単収益。
- $P_j$：単収益が最大となる適正作付面積（ピーク面積）。
右辺の分数部分 $\frac{2 x_j P_j}{x_j^2 + P_j^2}$ は、作付面積 $x_j$ が適正規模 $P_j$ とピッタリ一致したときに最大値 $1.0$ になります。
逆に、 $x_j$ が $P_j$ より小さすぎても大きすぎても、分数の値は小さくなり、収益性は底値である $R_{base, j}$ に近づいていきます。これにより「無理な規模拡大による非効率（ペナルティ）」を表現しています。
〈制約条件 (Constraints)〉
モデルが非現実的な答え（例：面積無限大、収入ゼロなど）を出さないための「守るべきルール」です。
- 所得維持制約 (Income Constraint)
生活費や次年度の資金など、「最低限これだけは稼がないと経営が成り立たない」というラインを死守します。
規模によって変動する粗収益から変動費を引いた「粗利益」が、目標額 $I_{min}$ を上回ること。
$$\sum_{j=1}^{n} \left( R_j(x_j) - V_j \right) x_j \ge I_{min}$$
- $V_j$：単位面積あたり変動費（定数）。
- 注意点: $R_j(x_j)$ が非線形であるため、この制約式は非凸（Non-convex）となる可能性があります。
- 土地資源制約 (Land Constraint)
物理的に持っている畑の広さ（上限）を超えて作付けすることはできません。
利用可能な全耕地面積 $A$ を超えないこと。
$$\sum_{j=1}^{n} x_j \le A$$
- 月別労働制約 (Monthly Labor Constraints)
農業特有の「特定の月（田植えや収穫期など）に作業が集中してパンクする」のを防ぎます。年間労働時間が短くても、ある月に限界を超えていればアウトと判定します。
各月 $t$ における労働需要が、家族労働供給限界 $H_t$ を超えないこと。
$$\sum_{j=1}^{n} l_{jt} x_j \le H_t \quad (\forall t \in \{1, \dots, 12\})$$
3. Pythonによるシミュレーション
import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
# =========================================================
# 1. パラメータの設定
# =========================================================
crops = ["作物A", "作物B", "作物C"]
n_crops = len(crops)
# --- 収益モデルパラメータ ---
# R_peak: 適正規模時の最大単収益 (万円/10a)
# R_base: 管理限界を超えた際の収束単収益 (万円/10a)
# P_area: 単収益がピークを迎える適正面積 (10a)
revenue_params = {
"R_peak": np.array([15.0, 20.0, 60.0]),
"R_base": np.array([10.0, 12.0, 40.0]),
"P_area": np.array([30.0, 20.0, 5.0])
}
variable_costs = np.array([5.0, 8.0, 10.0]) # 万円/10a (変動費)
annual_labor = np.array([20.0, 25.0, 150.0]) # 時間/10a (年間労働)
# 月別労働係数 (行:月, 列:作物)
# ※簡略化のため6ヶ月分としていますが、実際は12ヶ月分定義可能です
monthly_labor_coeffs = np.array([
[ 0, 8, 20], [ 10, 8, 20], [ 1, 0, 30],
[ 2, 0, 30], [ 2, 0, 30], [ 10, 9, 20]
])
I_min = 500 # 必要所得 (万円)
land_limit = 100 # 利用可能面積 (10a)
H_t = 400 # 月あたりの労働供給限界 (時間)
# =========================================================
# 2. 関数定義
# =========================================================
def unit_revenue_func(x_val, j):
"""
作目jの面積xにおける単位収益 R(x) を計算
数理モデル: R(x) = Base + (Peak - Base) * (2xP / (x^2 + P^2))
"""
# xが負になるのを防ぐ（ソルバーの挙動安定化）
x = max(0, x_val)
base = revenue_params["R_base"][j]
peak = revenue_params["R_peak"][j]
p_val = revenue_params["P_area"][j]
# 分母のゼロ割防止 (+1e-9)
factor = (2 * x * p_val) / (x**2 + p_val**2 + 1e-9)
return base + (peak - base) * factor
def objective(x):
"""目的関数: 総労働時間の最小化"""
return np.dot(annual_labor, x)
def constraint_income(x):
"""
所得制約: 総粗利益 - I_min >= 0
※不等式制約は 'fun' >= 0 の形式で記述
"""
total_gross_margin = 0
for j in range(n_crops):
r_unit = unit_revenue_func(x[j], j)
# 粗利益 = (単収益 - 変動費) * 面積
total_gross_margin += (r_unit - variable_costs[j]) * x[j]
return total_gross_margin - I_min
def constraint_land(x):
"""土地制約: land_limit - Σx >= 0"""
return land_limit - np.sum(x)
def make_labor_constraint(month_idx):
"""
ループ内でlambda式を使う際のスコープ問題を回避するための
クロージャ（関数生成関数）。各月ごとの制約関数を正しく生成します。
"""
def cons_labor(x):
# H_t - (その月の労働投入量) >= 0
return H_t - np.dot(monthly_labor_coeffs[month_idx], x)
return cons_labor
# =========================================================
# 3. 最適化計算の実行
# =========================================================
# 【重要：初期値の設定戦略】
# 非線形問題では、初期値が「0」に近いと「作っても赤字」と誤判定され
# そのまま動かない(局所解)リスクがあります。
# したがって、初期値は「適正規模(P_area)」付近に設定します。
x0 = revenue_params["P_area"].copy()
# 土地制約を超えないようスケーリング
if np.sum(x0) > land_limit:
x0 = x0 * (land_limit / np.sum(x0)) * 0.9
bounds = [(0, land_limit) for _ in range(n_crops)]
# 制約条件のリスト化
cons = [
{'type': 'ineq', 'fun': constraint_income},
{'type': 'ineq', 'fun': constraint_land}
]
# 月ごとの労働制約を追加
for t in range(len(monthly_labor_coeffs)):
cons.append({'type': 'ineq', 'fun': make_labor_constraint(t)})
# 実行 (SLSQP法)
res = minimize(objective, x0, method='SLSQP', bounds=bounds, constraints=cons)
# =========================================================
# 4. 結果の表示と解釈
# =========================================================
if res.success:
print("=== 適正規模考慮型 農業経営モデル 最適解 (Ver.2) ===")
print(f"ステータス: {res.message}")
print("-" * 75)
print(f"{'作目':<6} | {'面積(10a)':<10} | {'単収益':<8} | {'粗利益/10a':<10} | {'適正P':<6} | {'状態'}")
print("-" * 75)
total_income = 0
total_labor = 0
for j, crop in enumerate(crops):
area = res.x[j]
unit_rev = unit_revenue_func(area, j)
unit_margin = unit_rev - variable_costs[j]
peak_area = revenue_params["P_area"][j]
# 状態判定
if area < 0.1:
status = "― 作付なし"
elif abs(area - peak_area) < 1.0:
status = "★ 適正規模 (ピーク維持)"
elif area > peak_area:
status = "▼ 規模過多 (効率悪化)"
else:
status = "▲ 抑制的 (労働節約)"
print(f"{crop:<6} | {area:>9.2f} | {unit_rev:>8.2f} | {unit_margin:>10.2f} | {peak_area:>6.1f} | {status}")
total_income += unit_margin * area
total_labor += annual_labor[j] * area
print("-" * 75)
print(f"年間総労働時間 : {total_labor:>8.1f} 時間 (最小化目的)")
print(f"達成所得 : {total_income:>8.1f} 万円 (目標: {I_min}万円)")
print(f"土地利用率 : {np.sum(res.x):>8.1f} / {land_limit} (10a)")
else:
print("最適解が見つかりませんでした。")
print("理由:", res.message)
print("アドバイス: 目標所得が高すぎるか、労働制約が厳しすぎる可能性があります。")
4. 本モデルの実装・運用におけるリスクと対策
本モデルは実用的ですが、非線形計画法特有の注意点がいくつか存在します。実装時には以下の点にご注意ください。
- 局所解（Local Minima）のリスク
- 現象: 収益関数が「山型」をしているため、ソルバーが「登り口」を見つけられない場合があります。特に初期値 $x_0$ がゼロに近いと、「面積を少し増やしてもコスト（変動費）を回収できない」と判断し、すべての面積を0にする誤った解（局所解）で停止することがあります。
- 対策: コード内で行っているように、初期値 $x_0$ を適正規模 $P_j$ 付近に設定して計算を開始することが推奨されます。
- 変動費とベース収益の関係
- 現象: $V_j$（変動費）が $R_{base, j}$（ベース単収益）よりも大きい場合、初期段階や過剰規模段階で「作れば作るほど赤字」という領域が発生します。
- 対策: 現実的にはあり得るシチュエーションですが、解の安定性を高めるため、事前に if R_base < Variable_Cost の作物をチェックし、警告を出す仕組みを入れると親切です。
- パラメータ $P_j$ の感度
- 現象: 適正規模 $P_j$ の設定値によって、結果が大きく変わります。例えば $P_j$ を過小評価すると、モデルは「これ以上作っても無駄」と判断し、本来稼げるはずの機会を損失する解を出します。
- 対策: $P_j$ は固定値ではなく、「現在の技術レベル」と「将来の技術導入（スマート農業等）」のシナリオとして複数パターン用意し、シミュレーション比較を行う使い方が最も効果的です。
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前回に引き続き、Geminiを活用して規模に連動して収益が変化するモデルを作成してみました。
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